Álgebra

Como já foi dito, se você tem interesse por Astrofísica Teórica, principalmente o estudo de Astrofísica de Partículas Elementares e também Cosmologia, o estudo da álgebra é muitíssimo importante. A fronteira atual da pesquisa em Cosmologia, ou seja, o estudo da origem do Universo, de seus primeiros minutos, aquilo que chamamos de Universo Primordial, é fortemente baseado em estruturas algébricas. O motivo disto é que esta parte da Cosmologia trabalha muito com a chamada Teoria Quântica de Campos, uma parte da Física que se baseia muito em estruturas de GRUPOS.
O próprio estudo da Cosmologia, de modo geral, é fundamentado por estruturas algébricas. A Cosmologia está baseada na Teoria da Relatividade Geral de Einstein e não podemos estudar esta teoria sem nos referirmos a espaços topológicos, grupos de Lie, álgebras de Lie, etc.
Embora isto possa parecer assustador a princípio, devemos nos lembrar que as estruturas algébricas vão aparecendo naturalmente à medida que nos aprofundamos na matemática. É uma simples questão de amadurecimento e o desconforto que estes termos definidos abaixo nos trazem a princípio logo desaparecem.
Sem querer dar um curso de álgebra vamos mostrar as definições destas estruturas e você verá como elas são triviais (bem, quase triviais!).
Estas definições estão baseadas no excelente livro "Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications" de Robert Gilmore, editado pela John Wiley & Sons (1974) e, infelizmente, fora de catálogo.




conjunto grupo campo anel corpo espaço vetorial linear
álgebra espaço topológico

conjunto

 É uma coleção de objetos que não necessariamente tem qualquer estrutura ou propriedades adicionais

grupo

 Um grupo G é:
(a) um conjunto g1, g2, g3,......., gn G
junto com
uma operação, chamada multiplicação do grupo (o)
tal que
  1. gi G, gj G ==> gi o gj G
  2. gi o (gj o gk) = (gi o gj) o gk
  3. g1 o gi = gi = gi o g1,  para todo gi
  4. gk o gl = gl o gk = g1,    inversa única gl = gk-1

campo

 Um campo F é
(a) um conjunto de elementos fo, f1, f2,.....
junto com duas operações:
tal que os seguinte postulados ocorrem:
Postulado A
F é um grupo abeliano sob +, com fo sendo a identidade
Postulado B
  1. fi o fj F
  2. fi o (fj o fk) = (fi o fj) o fk
  3. fi o 1 = 1 o fi = fi
  4. fi o fi-1 = fi-1 o fi, sendo fi fo,        o inversa exceto para fo
  5. fi o (fj + fk) = fi o fj + fi o fk
    (fi o fj) o fk = fi o fk + fj o fk
  6. fi o fj = fj o fi

anel

corpo

espaço vetorial linear

 Um espaço vetorial linear V consiste de
(a) uma coleção vo, v1, v2,...., V, chamada vetores
(b)uma coleção f1, f2,........ F, um campo
junto com dois tipos de operações
tal que os seguintes postulados ocorrem
Postulado A    (V,+) é um grupo abeliano
  1. vi, vj V ==> vi + vj V
  2. vi + (vj + vk) = (vi + vj) + vk
  3. vo + vi = vi = vi + vo
  4. vi +(- vi) = vo = (-vi) + vi
  5. vi + vj = vj + vi
Postulado B
  1. fi F, vj V ==> fi vj V
  2. fi o (fj o vk) = (fi o fj) o vk
  3. 1 o vi = vi = vi o 1
  4. fi o (vk + vl) = fi o vk + fi o vl
    (fi + fj) o vk = fi o vk + fj o vk

álgebra

 Uma álgebra linear A consiste de
a) uma coleção v1, v2,...., V, chamados vetores
b) uma coleção f1, f2,....., F, um campo
junto com tres tipos de operações tal que os postulados abaixo possam ser estabelecidos
Postulado A
são os postulados A1 a A5 para um espaço vetorial ocorrem
Postulado B
os postulados B1 a B4 para um espaço vetorial ocorrem
Postulado C
  1. v1, v2 V ==> v1 v2 V
  2. (v1 + v2) v3 = v1 v3 + v2 v3
    v1 (v2 + v3) = v1 v2 + v1 v3
    Diferentes variedades de álgebras podem ser obtidas, dependendo de quais postulados adicionais também são satisfeitos
  3. (v1 v2) v3 = v1 (v2 v3)
  4. v1 1 = v1
  5. v1 v2 = ± v2 v1
  6. v1 (v2 v3) = (v1 v2) v3 + v2 (v1 v3)

espaço topológico

 Um espaço topológico T é um conjunto de pontos sobre os quais está colocada uma topologia . A topologia é uma escolha (conjunto) de subconjuntos S1, S2,.... de T:
Si T
Si
A topologia obedece aos 3 axiomas seguintes:
  1. O conjunto vazio e o espaço T pertencem a . Isto é expresso simbolicamente como
         T
  2. As interseções finitas de elementos em são elementos em . Simbolicamente, temos Si
  3. Uniões arbitrárias de elementos em são elementos em . Simbolicamente, isto é escrito como
    Si
    Os elementos Si na topologia são chamados de conjuntos abertos.
    Um espaço topológico que obedece aos 3 axiomas apresentados acima é geral demais para os nossos propósitos. Devemos também supor algum tipo de axioma de separabilidade. Suporemos que se p e q são pontos distintos de T, então podem ser encontrados subconjuntos abertos Sp, Sq de T que contém p e q, respectivamente, mas que não se superpõem. Simbolicamente:
  4. Se p T, q T, p q, então existe Sp , Sq com as propriedades p Sp, q Sq, Sp Sq =
    Um espaço topológico que obedece a este axioma adicional é chamado de Espaço de Hausdorff.